2. La loi de Hardy-Weinberg :
Convention d'écriture : Les phénotypes sont notés entre crochets (ex :[A]). Les génotypes sont notés entre parenthèses (ex :(A1//A1)).
2.1. Pour un gène autosomal, diallélique et codominant
2.1.1. Enoncé
Soit p et q, les fréquences alléliques (identiques chez les deux sexes) d'un gène, et p+q=1 Alors la fréquence des génotypes sera le développement de (p+q)², c'est-à-dire p²+2pq+q², or p+q=1 donc (p+q)²=p²+2pq+q²=1²=1
2.1.2. Démonstration
Soit, dans une population, un gène autosomal A, sous deux formes alléliques A1 et A2 (allèles codominants). Comme il y a codominance la distinction de trois génotypes est possible, ainsi que le montre le tableau suivant : Les fréquences des différents génotypes sont:
En ajoutant les fréquences de chaque génotype, on a cette relation :
F((A1//A1))+ F((A1//A2))+F((A2//A2))=p²+2pq+q²=(p+q)²=1
On retrouve bien la loi de Hardy-Weinberg.
De plus, on peut calculer la fréquence des allèles à la génération suivante :
F(A1)=F((A1//A1))+0.5F((A1//A2))=p²+0.5(2pq)=p²+pq=p(p+q)=p
F(A2)= F((A2//A2))+0.5F((A1//A2))=q²+0.5(2pq)=q²+pq=q(p+q)=q
Un équilibre concernant la distribution des fréquences génotypiques sera ainsi atteint en un cycle de reproduction, puisque les fréquences sont les mêmes à la seconde génération, c'est-à-dire un seul cycle de reproduction.
Fréquence des génotypes (A1//A1) à la génération n+1
2.1.3. Conséquences :
D'après les résultats précédents, on peut calculer les fréquences génotypiques à partir des fréquences alléliques. Or les fréquences alléliques restent invariantes d'une génération à l'autre. Donc les fréquences génotypiques restent invariantes d'une génération à l'autre.
Cette loi peut s'étendre avec tout gène polyallélique, auto- ou hétérosomal, codominant ou non, avec des applications différentes.
2.2. Pour un gène autosomal, diallélique et non-codominant
Soit un gène autosomal, sous deux formes alléliques A et b, de fréquences respectives p et q. A est l'allèle " dominant ", b est " récessif ".
On ne pourra pas distinguer les phénotypes [AA] et [Ab] dans la population car dans ces deux cas, c'est A qui s'exprime. Par contre on pourra distinguer les phénotypes [AA] et [Ab], notés [A], des phénotypes [bb], notés [b].
Soit N1 l'effectif de phénotype [A], et N2 l'effectif de [b] et N l'effectif total.
En utilisant les résultats précédents on peut retrouver :
-la fréquence du phénotype [A] : F([A])= F(AA) + F(Ab)=p²+2pq
-le fréquence du phénotype [b] : F([b])=F(bb)=q²
On peut aussi établir la fréquence allélique de du gène b car q=N2/N. Or la fréquence de l'allèle b est F(b)=q. Donc F(b)=N2/N.
2.3. Pour un gène hétérosomal (=gonosomique)
Soit 2 versions allélique A1 et A2 d'un gène hétérosomal, présent sur le chromosome X. (X est en double exemplaire chez les femelles et en simple exemplaire chez les mâles où il est associé au chromosome Y.) On pose p la fréquence de l'allèle A1 et q celle de l'allèle A2.
On étudie d'abord l'allèle A1.
Soit px la fréquence de l'allèle A1 chez les mâles et pxx la fréquence de l'allèle A1 chez les femelles.
Le chromosome X des mâles (de génération n) est transmis par les mères (de génération n-1). On a donc :
px(n)=pxx(n-1)
La fréquence de l'allèle A1 chez les mâles est donc égale à la fréquence de l'allèle A1 chez les femelles à la génération précédente.
Le chromosome X, portant l'allèle A1, des femelles a :
On a donc :
pxx(n)=(px(n-1)+pxx(n-1))/2
La fréquence de l'allèle A1 chez les femelles est donc égale à la moyenne des fréquences de l'allèle A1 chez les deux sexes à la génération précédente.
Pour montrer que les fréquences de l'allèle A1 chez les deux sexes tendent vers un même nombre au bout d'un certain nombre de générations, on calcule la différence des fréquences alléliques entre les deux sexes :
px(n)-pxx(n)=pxx(n-1)-px(n-1)/2-pxx(n-1)/2=-(1/2)(px(n-1)-pxx(n-1)
Par récurrence, on obtient :
px(n)-pxx(n)=(-1/2)n(px(0)-pxx(0))
Comme -1<-1/2<1, (-1/2)n tend vers 0. Et comme (px(0)-pxx(0)) est une constante, la différence des fréquences alléliques entres les deux sexes tend vers 0 en 8 à 10 générations.
Calcul de la fréquence moyenne de A1
1/3 des chromosomes X appartiennent aux mâles et 2/3 aux femelles.
Donc p=(1/3)px(n)+(2/3)pxx(n)
A l'équilibre p(éq)=px(éq)=pxx(éq) car la fréquence allélique moyenne est invariante et que la différence des fréquences alléliques entre les deux sexes tend vers 0.
On obtient des résultats similaires avec l'allèleA2 puisque sa fréquence q=1-p
